2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(附答案详解)

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15. (2021·全国·历年真题)记△ 𝐴𝐵𝐶的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为√3,

16. (2021·全国·历年真题)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图

和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为______

三、解答题(本大题共 7 小题,共 82.0 分)

<17. (2021·全国·历年真题)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产

品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品,得到各

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为𝑥和𝑦,样本方差分别记

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果𝑦 − 𝑥 ≥

(2)过点𝐹(4,1)作⊙ 𝐶的两条切线.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标

本题考查集合的运算,考查并集、补集定义等基础知识,考查运算求解能力等数学核心

所以𝑝 ∧ 𝑞为真命题,¬𝑝 ∧ 𝑞 为假命题,𝑝 ∧ ¬𝑞 为假命题,¬(𝑝 ∨ 𝑞)为假命题,

先分别判断命题 p 和命题 q 的真假,然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断,

本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值,考查了推理能力与计算能力,属于

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最

我们分别计算出区间(0, 2)和(0, 3)的长度,代入几何概型概率计算公式,即可得到答案.

本题主要考查几何概型的概率计算,其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何

利用二次函数的性质求出最值,即可判断选项 A,根据基本不等式以及取最值的条件,

即可判断选项 B,利用基本不等式求出最值,即可判断选项 C,利用特殊值验证,即可

本题考查了函数最值的求解,涉及了二次函数最值的求解,利用基本不等式求解最值的

应用,在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件:一正、二定、三相等,考查了转

先根据函数𝑓(𝑥)的解析式,得到𝑓(𝑥)的对称中心,然后通过图象变换,使得变换后的函

本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换,解题的关键是确定𝑓(𝑥)的对称中心,考查了

由𝐴𝐷1 //𝐵𝐶1,得∠𝑃𝐵𝐶1是直线所成的角(或所成角的补角),由此利用余弦定

求出 B 的坐标,设𝑃(√5𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑖𝑛𝜃),利用两点间距离公式,结合三角函数的有界性,转

本题考查椭圆的简单性质,椭圆的参数方程,三角函数最值的求法,考查转化思想以及

本题考查利用导数研究函数的极值、极值点,考查一元二次不等式的解法,考查分类讨

该满足的条件,为此需要判断函数在𝑥 = 𝑎左右的单调性,本题需要分𝑎 = 𝑏,𝑎 0并

【知识点】单位、零、共线、相反、相等向量的概念、利用空间向量判定线线的垂直、

【解析】解:观察正视图,推出正视图的长为 2 和高 1,②③图形的高也为 1,即可能

当③为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定

通过观察已知条件正视图,确定该正视图的长和高,结合长、高、以及侧视图视图中的

该题考查了三棱锥的三视图,需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系,以及对

于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中,需要较强空间想象,属于中等题.

【解析】本题考查了样本特征数的计算,解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式,

【解析】(1)通过线面垂直即可证明;即只需证明𝐴𝑀 ⊥平面 PBD.

可得 PD 即为四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷的高,利用体积公式计算即可.

本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,体积计算,考查运算

【解析】(1)根据𝑎1 ,3𝑎2,9𝑎3成等差数列,{𝑎𝑛 }是首项为 1 的等比数列,求出公比 q,

(2)分别利用等比数列的前 n 项和公式和错位相减法,求出𝑆𝑛 和𝑇𝑛 ,再利用作差法证明

本题考查了等差数列与等比数列的性质,等比数列的前 n 项和公式和利用错位相减法求

【解析】(1)根据焦点 F 到准线 求出 p,进而得到抛物线)设出点 Q 的坐标,按照向量关系得出 P 点坐标,再代入抛物线方程中,利用基本不

等式即可求出最值.

<本题考查抛物线的性质,考察基本不等式求最值,属于中档题.

①当△≤ 0,即𝑎 ≥ 3时,由于𝑓′(𝑥)的图象是开口向上的抛物线,故此时𝑓′(𝑥) ≥ 0,则𝑓(𝑥)

(2)先设出切点,表示出切线方程,根据切线过原点,可求得切线方程,将切线方程与

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想及运算求

本题主要考查圆的参数方程,普通方程与极坐标方程的转化,考查运算求解能力,属于

【解析】(1)将𝑎 = 1代入𝑓(𝑥)中,根据𝑓(𝑥) ≥ 6,利用零点分段法解不等式即可;

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